Logowanie

Email Hasło Zaloguj

Jak działa test Q-Dixona?

Po co w ogóle to sprawdzać?

W każdej serii pomiarowej zdarza się czasem wynik wyraźnie odbiegający od reszty — efekt pomyłki przy odczycie, zanieczyszczonej próbki, chwilowej usterki aparatury. Test Q-Dixona to prosta metoda statystyczna, szczególnie popularna przy małych liczebnościach próby (typowo n = 3–30), która sprawdza, czy najbardziej „podejrzany” wynik w serii jest na tyle daleko od pozostałych, że z dużym prawdopodobieństwem nie pochodzi z tego samego rozkładu co reszta danych — odpowiada więc na pytanie czy można go statystycznie potraktować jako wartość odstającą (outlier).

Idea w skrócie

Test porządkuje wszystkie wyniki serii rosnąco, a następnie patrzy na sprawdzaną wartość skrajną (najmniejszą lub największą) i mierzy, jak duża jest „luka” między nią a najbliższym sąsiadem, w porównaniu z całym rozstępem danych. Im większy udział tej luki w całym rozstępie, tym silniejsza przesłanka, że sprawdzana wartość jest odstająca.

Wzór

gdzie:

• x_podejrzana — sprawdzana wartość skrajna (najmniejsza lub największa w uporządkowanej serii),
• x_najbliższa — wartość sąsiadująca z nią w uporządkowanym zbiorze (czyli druga najmniejsza lub druga największa),
• x_max − x_min — rozstęp, czyli różnica między największą a najmniejszą wartością w całej serii.

Tak obliczoną wartość Q porównuje się z wartością krytyczną Q_crit, odczytywaną z tablic (Dixon, 1951; Rorabacher, 1991) dla danej liczebności próby n i przyjętego poziomu istotności α.

Statystyka zależna od liczebności serii (r₁₀, r₁₁, r₂₁, r₂₂)

Wzór powyżej to najprostsza postać testu (Dixon nazwał ją r₁₀). Ma jedną słabość: jeśli w serii są dwie wartości odstające, mogą się wzajemnie „zasłaniać” (maskowanie) – druga zawyża rozstęp w mianowniku albo, stojąc tuż obok pierwszej, zmniejsza lukę w liczniku. Dlatego Dixon (1951) i Rorabacher (1991) zalecają dla większych serii odmiany, które pomijają kilka skrajnych wyników. Program sam wybiera odmianę według liczby wyników n i nazwę użytej statystyki podaje w raporcie:

Wzory dla sprawdzanej wartości największej (x₍₁₎ ≤ x₍₂₎ ≤ … ≤ x_(n) – wyniki uporządkowane rosnąco; dla wartości najmniejszej wzory są lustrzane):

n	Statystyka	Wzór	Co się zmienia względem r10
3–7	r10	(x(n) − x(n−1)) / (x(n) − x(1))	luka do sąsiada / cały rozstęp – podstawowe „Q”
8–10	r11	(x(n) − x(n−1)) / (x(n) − x(2))	w mianowniku pominięta skrajna wartość po drugiej stronie
11–13	r21	(x(n) − x(n−2)) / (x(n) − x(2))	dodatkowo licznik sięga do drugiego sąsiada
14–30	r22	(x(n) − x(n−2)) / (x(n) − x(3))	pominięte po dwie wartości z drugiej strony i od strony sprawdzanej

Jeżeli Q > Q_crit — wynik uznaje się za odstający. W przeciwnym razie nie ma podstaw, by odrzucić dany pomiar.

Dlaczego tylko trzy poziomy istotności?

W odróżnieniu od testu Grubbsa, test Q-Dixona nie ma prostego wzoru analitycznego na wartość krytyczną — opiera się wyłącznie na tablicach wyznaczonych empirycznie dla konkretnych poziomów ufności (90 %, 95 %, 99 %). Dopuszczenie dowolnej, „własnej” wartości α wymagałoby interpolacji między tabelarycznymi wartościami krytycznymi, co dawałoby jedynie wynik przybliżony. W tym arkuszu świadomie z tego zrezygnowano na rzecz trzech ściśle tablicowych wartości — to jedyny sposób, by wynik testu pozostał w pełni zgodny ze źródłową publikacją.

Iteracje — co oznaczają w tym arkuszu?

Ten arkusz pozwala włączyć opcję „Iteracje: Tak”. Oznacza to, że po odrzuceniu pierwszej wartości odstającej test Q-Dixona jest uruchamiany ponownie na pozostałych danych (czyli na serii pomniejszonej o odrzucony punkt) — i tak dalej, aż do wykorzystania ustawionej liczby iteracji (maksymalnie 5) lub do momentu, w którym test przestaje znajdować kolejną wartość odstającą (zależy co następuje wcześniej). Po wykorzystaniu limitu test jest wykonywany jeszcze raz: jeśli nadal wykazuje wartość odstającą, dostaje ona status „Odstająca” (pozostaje w obliczeniach), a raport informuje, że limit iteracji został wyczerpany.

Dlaczego trzeba tu zachować ostrożność: każda kolejna iteracja zmniejsza liczebność próby (n), a przy małych próbach (typowych dla tego testu) wpływ pojedynczego usuniętego punktu na rozstęp i kolejny wynik Q jest proporcjonalnie duży. W praktyce laboratoryjnej rzadko uzasadnione jest wykonywanie więcej niż 1–2 iteracji dla jednej serii — jeśli test sugeruje więcej, warto to potraktować jako sygnał do przyjrzenia się danym „ręcznie”, a nie automatycznego zaakceptowania wszystkich kolejnych odrzuceń.

Ograniczenie, o którym warto wiedzieć

Test Q-Dixona (podobnie jak test Grubbsa) jest zaprojektowany do wykrywania pojedynczej wartości odstającej na raz i zakłada, że pozostałe dane pochodzą z rozkładu zbliżonego do normalnego. Statystyki r₁₁–r₂₂ ograniczają efekt maskowania, ale przy małych seriach (n ≤ 7, statystyka r₁₀) dwie odstające wartości po tej samej stronie mogą się nadal nawzajem „maskować” — warto wtedy wspomóc się oceną wzrokową danych.

Źródła

Dixon, W.J. (1951). Ratios Involving Extreme Values. Annals of Mathematical Statistics, 22(1), 68–78.
Rorabacher, D.B. (1991). Statistical Treatment for Rejection of Deviant Values: Critical Values of Dixon's „Q” Parameter and Related Subrange Ratios at the 95% Confidence Level. Analytical Chemistry, 63(2), 139–146.