Logowanie

Email Hasło Zaloguj

Jak działa test Levene'a?

Po co w ogóle to sprawdzać?

Wiele testów statystycznych (test t-Studenta dla dwóch grup, ANOVA dla wielu grup, wiele metod porównawczych między laboratoriami) zakłada w tle, że porównywane grupy mają jednorodną wariancję (homoscedastyczność). Gdy to założenie nie jest spełnione, wyniki takich testów mogą być mylące – np. test t-Studenta w wariancie klasycznym zaniża lub zawyża rzeczywisty poziom istotności, jeśli grupy w rzeczywistości różnią się rozrzutem. Test Levene'a sprawdza właśnie to założenie – jednorodność wariancji wśród k grup (np. k laboratoriów, k dni pomiaru, k wariantów metody) – zanim dane z tych grup zostaną porównane/połączone dalej.

Hipotezy

H₀: wariancje wszystkich k grup są jednorodne  |  H₁: co najmniej jedna para grup ma różne wariancje

Statystyka testowa

Zamiast pracować bezpośrednio na wariancjach grup (jak robi to test C-Cochrana albo klasyczny test Bartletta), test Levene'a najpierw przekształca dane na odchylenia bezwzględne od centrum grupy:

a następnie liczy zwykłą, jednoczynnikową ANOVA na tych przekształconych wartościach Z (nie na oryginalnych pomiarach X):

gdzie Z̄_i to średnia Z w obrębie grupy i, Z̿ to średnia ważona wszystkich Z, k to liczba grup, N to łączna liczba pomiarów.
Pod hipotezą zerową statystyka W ma (w przybliżeniu) rozkład F-Snedecora o (k−1, N−k) stopniach swobody, tylko uogólniony na dowolne k ≥ 2. Jeżeli W > F_crit(α, k−1, N−k) - odrzucamy H₀ (wariancje uznane za niejednorodne). W przeciwnym razie nie ma podstaw, by to zrobić.

Dwa warianty centrowania

Formularz pozwala wybrać, czym jest „centrum_i” we wzorze powyżej:

• Średnia – wariant klasyczny (Levene, 1960): centrum_i to zwykła średnia arytmetyczna grupy i.
• Mediana – wariant Browna-Forsythe'a (Brown & Forsythe, 1974, domyślny w tym module): centrum_i to mediana grupy i. Ten wariant jest ogólnie odporniejszy na brak normalności rozkładu i skośność danych – kosztem nieco mniejszej mocy testu, gdy dane faktycznie są bliskie rozkładowi normalnemu.

Oba warianty liczą tę samą statystykę W tym samym wzorem – różni je wyłącznie to, co odejmuje się od pomiarów w kroku transformacji na Z. Żaden z wariantów nie jest „uniwersalnie lepszy” – wybór zależy od tego, na ile można ufać założeniu o normalności danych wejściowych (np. na podstawie wcześniej wykonanego testu Shapiro-Wilka).

Dlaczego dowolna wartość α?

Podobnie jak test C-Cochrana/Grubbsa (oparte na wzorach analitycznych), test Levene'a ma znany wzór wiążący wartość krytyczną z rozkładem F-Snedecora. Wzór ten można policzyć numerycznie dla dowolnej wartości α z przedziału (0, 1), bez żadnej interpolacji z tablic – stąd formularz nie ogranicza się do listy stałych wartości.

Dlaczego różna liczba pomiarów w grupach jest dozwolona

W odróżnieniu od testu C-Cochrana (który wymaga dokładnie równej liczby powtórzeń n we wszystkich grupach – projekt zbalansowany), test Levene'a nie ma takiego wymogu matematycznego – to jedna z jego praktycznych przewag. Formularz wymaga jedynie, żeby każda uczestnicząca grupa miała co najmniej 2 aktywne pomiary – poza tym grupy mogą mieć dowolnie różną liczbę wierszy (przyciski „+ Dodaj wiersz”/„− Usuń ostatni wiersz” działają niezależnie dla każdej grupy). Grupa, w której wszystkie pomiary są ręcznie wykluczone, nie bierze udziału w teście – traktowana jest jak nieobecna.

Dlaczego ten moduł nie ma „iteracji”

Test C-Cochrana/Grubbsa/Q-Dixona to testy zaprojektowane do wykrywania pojedynczej wartości/grupy odstającej – stąd naturalny mechanizm iteracyjnego odrzucania kolejnych „winowajców” i ponownego przeliczania testu. Test Levene'a to test zupełnie innego rodzaju: jedna, zbiorcza ANOVA sprawdzająca jednorodność wariancji wszystkich grup naraz (analogicznie do testu F-Snedecora – ten też nie ma „iteracji” przy porównaniu dwóch grup). Test Levene'a nie wskazuje formalnie, która konkretnie grupa różni się od pozostałych – tylko to, czy cały zbiór grup jest jednorodny. Z tego powodu raport pokazuje – wyłącznie informacyjnie, gdy test odrzucił H₀ – grupę o największym średnim odchyleniu Z̄_i (największy wkład w wykrytą niejednorodność), ale w żadnym wypadku jej nie odrzuca ani nie usuwa automatycznie z obliczeń.

Dwa statusy grupy

W odróżnieniu od statusów testów C-Cochrana, Q-Dixona i Grubbsa, raport tego modułu rozróżnia tylko dwa:

• OK – grupa uczestniczyła w teście.
• Wykluczono – wszystkie pomiary w tej grupie zostały wykluczone ręcznie przez użytkownika (polem „Wyklucz” przy każdym wierszu) – grupa nie brała udziału w teście w ogóle, niezależnie od wyniku statystycznego.

Niezależnie od statusu całej grupy, pojedyncze pomiary wewnątrz grupy nadal uczestniczącej w teście również można wykluczyć ręcznie (np. oczywista pomyłka przy odczycie jednego wyniku) – to inny, niezależny mechanizm; taki pomiar jest wtedy pominięty przy liczeniu średniej/mediany/wariancji tej grupy.

Ograniczenia, o których warto wiedzieć

Test Levene'a jest testem omnibus – odpowiada na pytanie „czy wszystkie grupy mają jednorodną wariancję”, nie „która para grup się różni”. Formalne wskazanie konkretnej pary/grup wymagałoby osobnych testów post-hoc (poza zakresem tego modułu) – wskazana w raporcie „grupa o największym wkładzie” (patrz wyżej) ma charakter wyłącznie pomocniczy/informacyjny, nie jest formalnym testem statystycznym. Przy bardzo małej liczbie pomiarów w grupach (blisko minimum n = 2) moc testu do wykrycia rzeczywistej niejednorodności jest ograniczona – podobnie jak przy każdym teście statystycznym opartym na małej próbie.

Duplikaty (n = 2 w każdej grupie) – przy dwóch wynikach w grupie oba odchylenia od mediany (i od średniej) są sobie równe, więc zmienność wewnątrzgrupowa wielkości Z wynosi dokładnie zero, a statystyka W rośnie do nieskończoności niezależnie od danych. Dlatego arkusz nie wykonuje testu Levene'a, gdy wszystkie grupy mają po 2 wyniki – dla duplikatów właściwy jest test C-Cochrana.

Źródła

Levene, H. (1960). Robust tests for equality of variances. W: Contributions to Probability and Statistics: Essays in Honor of Harold Hotelling, Stanford University Press, s. 278–292.
Brown, M. B., & Forsythe, A. B. (1974). Robust tests for the equality of variances. Journal of the American Statistical Association, 69(346), 364–367.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, rozdział 1.3.5.10 „Levene Test for Equality of Variances” (itl.nist.gov/div898/handbook).