Jak działa test Shapiro-Wilka?
Po co w ogóle to sprawdzać?
Test Shapiro-Wilka sprawdza, czy próba danych pochodzi z (w przybliżeniu) rozkładu
normalnego. To jeden z najczęściej stosowanych i uznawany za najmocniejszy spośród
popularnych testów normalności, szczególnie przy małych i średnich licznościach próby.
W praktyce laboratoryjnej służy najczęściej jako test wstępny -
wiele innych metod statystycznych (test t-Studenta, ANOVA, test Grubbsa, test F-Snedecora)
formalnie zakłada, że dane pochodzą z rozkładu normalnego, więc zanim się ich użyje,
warto to założenie zweryfikować.
Hipotezy
H₀: dane pochodzą z rozkładu normalnego | H₁: dane nie pochodzą z rozkładu normalnego
Statystyka testowa W mieści się w przedziale [0, 1] i mierzy, jak dobrze
uporządkowane (posortowane) dane pasują do tego, czego oczekiwalibyśmy po próbie z
rozkładu normalnego o tej samej liczności – wartości W bliskie 1 wskazują na dobrą
zgodność z normalnością.
W =
(∑i=1n ai x(i))²
∑i=1n (xi − x̄)²
gdzie:
- x(i) — i-ta wartość w porządku rosnącym (statystyka pozycyjna) serii,
- x̄ — średnia arytmetyczna wszystkich wartości w serii,
- ai — stałe współczynniki wyznaczone z wartości oczekiwanych i
macierzy kowariancji statystyk pozycyjnych próby z rozkładu normalnego. W
odróżnieniu od np. wzoru na Gcrit w teście Grubbsa, współczynniki
ai nie mają prostego wzoru analitycznego — są tablicowane/przybliżane
numerycznie, stąd arkusz nie liczy ich samodzielnie, tylko korzysta z gotowej,
zweryfikowanej implementacji (SciPy, algorytm Royston 1995 – AS R94).
Program oblicza z W wartość p, którą porównuje się z założonym
poziomem istotności α.
Decyzja
Jeżeli p < α – odrzuca się H₀: dane odbiegają od rozkładu
normalnego w sposób statystycznie istotny. Jeżeli p ≥ α – nie ma
podstaw, by odrzucić H₀ (dane są zgodne z założeniem normalności).
Ważne zastrzeżenie interpretacyjne: brak podstaw do odrzucenia H₀ nie
jest dowodem normalności – oznacza tylko, że test nie wykrył istotnego odstępstwa,
przy dostępnych danych. Przy małych próbach test ma niską moc (może nie wykryć nawet
wyraźnego odstępstwa od normalności) – patrz ostrzeżenie w formularzu poniżej n = 8.
Przy bardzo dużych próbach bywa odwrotnie: nawet znikome, praktycznie nieistotne
odstępstwo od idealnej normalności może zostać uznane za „statystycznie istotne”.
Wynik testu warto więc zawsze zestawiać z wizualną oceną danych (np. histogram, wykres
kwantyl-kwantyl), a nie traktować jako jedyne, automatyczne kryterium decyzyjne.
Wiele serii w jednym uruchomieniu
Arkusz pozwala utworzyć więcej niż jedną tabelę (serię) naraz – np. przy krzywej
kalibracyjnej złożonej z kilku punktów stężeń, gdzie każdy punkt ma własną serię
powtórzeń (np. 7 punktów po 8 pomiarów). Każda seria jest testowana niezależnie
(osobna statystyka W, wartość p i decyzja dla każdej z nich) – serie nigdy nie są łączone w
jedną wspólną próbę. Połączenie kilku punktów o różnych średnich (stężeniach) w jeden
zbiór zniekształciłoby wynik: nawet jeśli każdy punkt z osobna ma rozkład idealnie
normalny, ich suma tworzy rozkład wielomodalny, który test Shapiro-Wilka słusznie
odrzuciłby jako nienormalny – to nie byłby błąd testu, tylko błąd w sposobie
przygotowania danych.
Wykluczanie wyników
Wynik można wykluczyć znacznikiem „Wyklucz” – wymagany jest wtedy powód (np. „błąd
rozcieńczenia”). Wykluczony wynik nie bierze udziału w teście ani w wykresie Q-Q, a raport
pokazuje go na szaro z napisem „Wykluczono” i powodem; liczba wykluczeń trafia do
podsumowania, a plik CSV/JSON zachowuje wszystkie wpisane wyniki.
Założenia i ograniczenia
- Obserwacje w obrębie jednej serii są niezależne od siebie.
- Dane są ciągłe – test nie jest przeznaczony dla danych silnie
zaokrąglonych/skwantowanych do niewielkiej liczby powtarzających się wartości.
- Minimalna liczność każdej serii, dla której test w ogóle da się policzyć: n = 3.
Zalecana liczność to jednak co najmniej n = 8 – poniżej tego progu wynik może mieć niewielką moc statystyczną.
Źródła
Shapiro, S.S.; Wilk, M.B. (1965). An analysis of variance test for normality
(complete samples). Biometrika, 52(3–4), 591–611.
Royston, P. (1995). Remark AS R94: A remark on Algorithm AS 181: The W-test for
Normality. Journal of the Royal Statistical Society, Series C, 44(4), 547–551
(algorytm zaimplementowany w SciPy).
PN-ISO 5479 – Zastosowanie statystyki – Interpretacja danych statystycznych –
Testy odchylenia od rozkładu normalnego.
